オーバーフローとアンダーフローとは？原因と回避策をやさしく解説

プログラムで使う数字には、表せる範囲があり、限界を超えると結果が壊れます。

本記事では、オーバーフローとアンダーフローの意味、起きる理由、そして初心者でもできる回避策を段階的に説明します。

整数と浮動小数点の違いから、具体例、検出と対処まで、基礎をやさしく押さえていきます。

数値表現の基本と範囲

ビット数と範囲(上限/下限)の考え方

コンピュータは数値をビット(0と1)の並びで表します。

ビット数が多いほど表せる数の種類が増え、上限と下限の幅が広がります。

例えば符号付き整数では、おおまかに-2^(n-1)から2^(n-1)-1までの範囲を持ちます。

符号なし整数の場合は0から2^n-1です。

次の表は、よく使う型の範囲イメージです(概略、言語や環境で異なることがあります)。

範囲の端を超えると、オーバーフローやアンダーフローが起きます。

この後で具体的に見ていきます。

整数と浮動小数点の違い

整数型は、範囲内であれば整数値を正確に表します。

対して浮動小数点型は、小数を含む広い範囲を表せますが、一部の数を近い値に丸めて表現します。

例えば0.1は2進数で有限桁にならないため、正確には表せません。

さらに浮動小数点には、無限大(Infinity)や非数(NaN)といった特別な値もあります。

丸めの影響と誤差のイメージ

丸めは保存時や計算中にも起こります。

代表例として、次の結果は多くの言語で見られます。

0.1 + 0.2  // 0.30000000000000004 など

これは計算が壊れているのではなく、表現の限界によるごく小さな誤差です。

繰り返し計算で誤差が蓄積したり、ほぼ同じ数の引き算で有効桁が失われたりすることがあるため、丸め誤差は起きうるものとして前提にすることが大切です。

オーバーフローとは？原因と例

定義

オーバーフローとは、計算結果の絶対値がその型で表せる上限を超え、別の値に化けてしまう現象です。

整数では桁が回って全く別の値になります。

浮動小数点ではInfinity(無限大)になることが一般的です。

整数のオーバーフローの例と症状

32ビット整数では最大値は2147483647です。

これに1を足すと、上限を超えて桁が回ります。

// Cの例
#include <stdio.h>
#include <limits.h>

int main() {
  int x = INT_MAX;   // 2147483647
  int y = x + 1;
  printf("%d\n", y); // -2147483648 に見える(桁回り)
}

桁回りの典型的な症状は、急に負の数に変わる、値が小さくなる、ループの終了条件が壊れるなどです。

符号なし8ビット(0〜255)でも255+1が0になります。

浮動小数点のオーバーフローの例

とても大きな数同士を掛けると、無限大に飛びます。

x = 1e308
y = x * 1e10
print(y)  # inf (無限大)

infが出たらオーバーフローの合図です。

よくある原因

入力や計算結果が想定より大きくなる場面で起きます。

例えば、合計値をひたすら足し続ける、大きな数の乗算や累乗、型を小さい型へ変換、単位のミス(秒とミリ秒の取り違えなど)が原因になりやすいです。

オーバーフローの検出方法

最も確実なのは、演算の前に範囲をチェックすることです。

加算の例を擬似コードで示します。

// 符号付き32ビット整数の安全な加算(概念)
if (b > 0 && a > INT_MAX - b) then エラー
if (b < 0 && a < INT_MIN - b) then エラー
結果 = a + b

浮動小数点では計算後にisfiniteやisinfで確認します。

import math
z = x * y
if not math.isfinite(z):  # infやnanを含む
    print("範囲外の計算が発生しました")

結果がおかしい兆候(急な符号反転や極端な値)をログに出すのも有効です。

アンダーフローとは？原因と例

定義

アンダーフローとは、結果が0に近すぎて、その型では0として扱われるか、ほぼ0の特別な値になってしまう現象です。

整数の世界では下側の範囲外も「オーバーフロー」と呼ぶことが多く、ここでは主に浮動小数点の話を扱います。

浮動小数点でアンダーフローが起きやすい理由

浮動小数点には扱える最小の大きさがあります。

この最小値より小さい結果は0.0に丸められたり、極端に小さい近似値になったりします。

特にとても小さい数の掛け算や、大きい数での割り算を繰り返すと起きやすいです。

x = 1e-308
y = x * 1e-308
print(y)  # 0.0 (doubleの範囲を下回り0に)

よくある原因

確率や正規化で値がどんどん小さくなる、非常に大きな数で割る処理、指数関数の大きな負の指数などが典型です。

ほぼ同じ数同士の引き算で有効桁が失われ、結果が極端に小さくなることもあります。

影響

本来は小さいけれど0ではない値が0.0に落ちると、ゼロ除算や分岐条件の誤作動につながります。

例えば分母が0になって無限大やNaNを生む、しきい値判定がすべて偽になる、といった予期せぬ挙動が発生します。

アンダーフローの検出方法

演算後に不自然な0.0が紛れ込んでいないかを確認します。

import math

tiny = 1e-300  # double向けの一例。用途に応じて調整
if x != 0.0 and y != 0.0:
    z = x * y
    if z == 0.0 or abs(z) < tiny:
        print("アンダーフローの可能性があります")

また、ライブラリによっては非正規化やunderflowの警告設定が用意されています。

利用している言語やライブラリの「最小正規化値」を調べ、それ未満は0扱いにするか、スケールを変える方針を決めると良いです。

プログラミングの回避策とチェック方法

型選びと範囲の見積もり

最初に、扱う値のおおまかな最大値と最小値を見積もることが重要です。

カウント類はint64、広い桁の小数はfloat64、通貨は誤差を嫌うため10進小数型(Decimalなど)が向く場合があります。

PythonのintやJavaのBigIntegerのような任意精度も選択肢です。

範囲チェックとガード

演算の前に安全かどうかを判定すると事故が減ります。

加算や乗算は次のようにガードします。

// 乗算の一例(概念)
if (a != 0 && abs(b) > MAX / abs(a)) then エラー
結果 = a * b

浮動小数点は計算後にisfiniteで検査し、問題があれば例外やエラーログに回します。

演算順序の工夫とスケーリング

大きすぎる/小さすぎる中間結果を作らない工夫が効きます。

例えばa*b/cは、先にb/cを計算して値を小さくしてからaを掛ける方が安全な場合があります。

全体を一定係数で割ってから計算し、最後に元に戻すスケーリングも有効です。

指数が絡む場合は、対数で扱うとオーバーフローやアンダーフローを避けやすくなります。

大きすぎる/小さすぎる値のクランプ

入力や中間値を一定範囲にクランプ(はさみこみ)して暴走を防げます。

def clamp(x, low, high):
    return max(low, min(x, high))

x = clamp(x, -1e6, 1e6)  # 一例

ただし、クランプは本質的なバグを隠す場合があります。

警告ログやカウンタを付けて、発生頻度を監視しましょう。

安全なライブラリの利用

チェック付き算術や飽和算術(上限/下限で止める)を提供するライブラリを使うと安全です。

Pythonではdecimalやfractions、JavaではBigInteger/BigDecimalなどが代表例です。

数値計算ライブラリでは、エラー処理や警告設定を有効にしましょう。

例外/警告/アサーションで検出

想定外の値を早めに止めるため、境界チェックにアサーションや例外を使います。

import math

assert -1e12 <= x <= 1e12, "xが想定外の範囲です"
z = f(x)
if not math.isfinite(z):
    raise ValueError("計算結果が有限数ではありません")

開発時に強めのチェック、本番ではログとサンプリングにすると、性能と安全性の両立がしやすいです。

テストで境界値と極端値を確認

境界値テストは最も効果的です。

上限直前、下限直前、ゼロ周り、非常に大きい値や小さい値を入力し、壊れないかを確認します。

浮動小数点ではinfやnanが出ないかも併せて見ます。

まとめ

本記事では、オーバーフローとアンダーフローの基本、原因、検出と回避の実践的ポイントを紹介しました。鍵は次の3点です。1) 型の範囲を理解し、事前に見積もる、2) 範囲チェックやisfiniteなどの検査を入れる、3) 演算順序やスケーリングで極端な中間値を避ける。

さらに、境界値テストで早期に問題を見つけ、必要に応じて安全なライブラリやクランプを組み合わせれば、初学者でも堅牢な数値処理が実現できます。

オーバーフローとアンダーフローを怖がるのではなく、仕組みを知り、手を打つことが大切です。